Erwartungswert

Der Erwartungswert ist ein Maß für die mittlere Größe einer Zufallsvariablen. Er wird auch als Mittelwert bezeichnet. Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen $X$ wird mit $E(X)$ bezeichnet.

Formel

Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen $X$ wird berechnet durch:

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p(x_i)$

Dabei ist $x_i$ der Wert, den die Zufallsvariable $X$ annehmen kann und $p(x_i)$ die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ den Wert $x_i$ annimmt.

Beispiel

Fairer Würfel: $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

$E(X) = \frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{1}{6} \cdot 2 + \frac{1}{6} \cdot 3 + \frac{1}{6} \cdot 4 + \frac{1}{6} \cdot 5 + \frac{1}{6} \cdot 6 = 3.5$

Der Erwartungswert des Würfels beträgt also 3.5. Somit ist die erwartete Menge $E(X) \in \{3,4\}$

Gacha Game: $X = \{3 \text{ Sterne}, 4 \text{ Sterne}, 5 \text{ Sterne}\}$ (Ausgenommen Pity)

• $3 \text{ Sterne}$: $p(x_i) = \frac{944}{1000}$ (94.4%)
• $4 \text{ Sterne}$: $p(x_i) = \frac{50}{1000}$ (5%)
• $5 \text{ Sterne}$: $p(x_i) = \frac{6}{1000}$ (0.6%)

$E(X) = \frac{944}{1000} \cdot 3 + \frac{50}{1000} \cdot 4 + \frac{6}{1000} \cdot 5 = 3.062$