Mengenlehre

Definition

Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.

Eine Menge definieren

Mengen werden in der Mathematik durch geschweifte Klammern dargestellt. Die Elemente einer Menge werden durch Kommata getrennt.

Beispiel: $A := \{1, 2, 3, 4\}$

Unendliche Menge: $B := \{1, 2, 3, 4, ...\}$

Durch eine Eigenschaft definierte Menge: $C := \{x | x \text{ "eine natürliche Zahl und" } x < 5\}$

Duruch verknüpfte Mengen: $D := \{1, 2, 3\} \cup \{3, 4, 5\}$

Mengenrelationen

• $A = B$ bedeutet, dass $A$ und $B$ die gleichen Elemente enthalten.

• $A \subset B$ bedeutet, dass $A$ eine echte Teilmenge von $B$ ist. $A$ ist eine Teilmenge von $B$, wenn jedes Element von $A$ auch in $B$ enthalten ist, aber sie nicht gleich $B$ ist.

• $A \subseteq B$ bedeutet, dass $A$ eine Teilmenge von $B$ ist. Dabei können $A$ und $B$ auch gleich sein.

Ensprechend bedeuten ($\nsubseteq$, $\not\subset$, $\neq$) das Gegenteil.

Mengenoperationen

• Vereinigung: $A \cup B = \{x | x \in A \text{ oder } x \in B\}$

• Schnittmenge: $A \cap B = \{x | x \in A \text{ und } x \in B\}$

• Differenzmenge: $A \setminus B = \{x | x \in A \text{ und } x \notin B\}$

• Symmetrische Differenz: $A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$

Bsp: $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{3, 4, 5\}$

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ -> alle Elemente beider Mengen

$A \cap B = \{3\}$ -> nur Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind

$A \setminus B = \{1, 2\}$ -> Elemente, die in $A$ enthalten sind, aber nicht in $B$

$A \triangle B = \{1, 2, 4, 5\}$ -> Elemente, die in $A$ oder $B$ enthalten sind, aber nicht in beiden

Tupel

Ein Tupel ist eine geordnete Liste von Elementen.

$(a, b)$ ist ein Tupel mit zwei Elementen $a$ und $b$.

Kartesisches Produkt

Das kartesische Produkt zweier Mengen $A$ und $B$ ist die Menge aller geordneten Paare $(a, b)$,

wobei $a$ ein Element von $A$ und $b$ ein Element von $B$ ist.

$A \times B = \{(a, b) | a \in A \text{ und } b \in B\}$

Bsp: $A = \{1, 2\}$, $B = \{3, 4\}$

$A \times B = \{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)\}$

Mächtigkeit einer Menge

Die Mächtigkeit eines kartesischen Produkts ist das Produkt der Mächtigkeiten der beiden Mengen.

Bsp: $|A| = 2$, $|B| = 2$

$|A \times B| = 2 \cdot 2 = 4$

Potenzmenge

Die Potenzmenge einer Menge $A$ ist die Menge aller Teilmengen von $A$.

$P(A) = \{B | B \subseteq A\}$

Für eine Menge $A$ mit $n$ Elementen hat die Potenzmenge $2^n$ Elemente.

Bsp: $A = \{1, 2\}$

$P(A) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}$

Mächtigkeit einer Potenzmenge

Die Mächtigkeit einer Potenzmenge ist $2^n$, wobei $n$ die Anzahl der Elemente der ursprünglichen Menge ist.

Und damit $|P(A)| = 2^2 = 4$