Zahlendarstellung

Zuerst wiederhole die einzelnen Zahlensysteme und ihre Umrechnungsmethoden.

Kommazahlen in Binär

Bei standardmäßigen Kommazahlen wird die Zahl in zwei Teile geteilt: den Vorkommabereich und den Nachkommabereich. Der Vorkommabereich wird wie gewohnt in Binär umgerechnet.

Der Nachkommabereich jedoch, wird mit 2 multipliziert und der ganze Teil wird als Binärzahl genommen.

Hier ein Zahlenrechner um die Umrechnung zu üben und zu testen:

Gleitkommazahlen IEEE 754

Gleitkommazahlen werden im IEEE 754 Standard dargestellt. Die Zahl wird in drei Teile aufgeteilt: Vorzeichen, Exponent und Mantisse.

Gleitkommazahlen IEEE 754

Gleitkommazahlen werden im IEEE 754 Standard dargestellt. Die Zahl wird in drei Teile aufgeteilt: Vorzeichen, Exponent und Mantisse.

Wobei $s$ das Vorzeichen, $m$ die Mantisse und $e$ der Exponent ist.

Die -127 kann auch als Bias bezeichnet werden, dieser variiert je nach Angabe in der Aufgabe.

Vorzeichen

Das Vorzeichen gibt an, ob die Zahl positiv oder negativ ist.

Exponent

Der Exponent gibt an, wie viele Stellen die Zahl verschoben werden muss.

Mantisse

Die Mantisse ist der eigentliche Wert der Zahl.

Umrechnung

Die Umrechnung von Dezimalzahlen in Gleitkommazahlen erfolgt in folgenden Schritten:

1. Bestimme das Vorzeichen $s$, 1 für negativ, 0 für positiv.

2. Schreibe die Dezimalzahl in Binärform.

3. Verschiebe das Komma so, dass nur eine Stelle vor dem Komma steht. (Normalisierung, verschiebe bis zur ersten 1)

4. Bestimme den Exponenten $e$, $e$ ist dabei wie weit du dein Komma verschieben musstest.

5. Schreibe die Mantisse $m$ -> Die Mantisse kannst du einfach aus deiner Rechnung übernehmen, alles was nach dem Komma steht.

Umrechnung am Beispiel $-10.75$ für IEEE 754 in 32 Bit Darstellung:

1. Vorzeichen: $s = 1$, da die Zahl negativ ist.

2. Binärform: $1010.11$, da $10 = 1010$ und $0.75 = 0.11$, siehe dafür oben.

3. Normalisierung: $1010.11 \cdot 2^0$ in $1.01011 \cdot 2^3$

4. Exponent: $e = 3 + 127 = 130$, also $10000010$ in Binär.

5. Mantisse: $01011$

Somit ergibt sich die Gleitkommazahl $1$ $10000010$ $01011000000000000000000$.