2. Semester
Mathe 2
Varianz

📊 Varianz

Die Varianz ist ein Maß dafür, wie stark die Werte einer Stichprobe oder einer Grundgesamtheit im Durchschnitt vom Mittelwert abweichen.

σ2=1n∑i=1n(xi−μ)2\quad \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2 s2=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)2\quad s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2

🧮 Bedeutung

Die Varianz zeigt:

  • Ob die Daten eher nah am Mittelwert liegen (kleine Varianz)
  • Oder weit streuen (große Varianz)

📌 Schritte zur Berechnung

  1. Mittelwert berechnen: μ\mu oder xˉ\bar{x}
  2. Abweichungen vom Mittelwert quadrieren: (xi−μ)2(x_i - \mu)^2
  3. Alle quadrierten Abweichungen aufsummieren
  4. Durch nn (Population) oder n−1n - 1 (Stichprobe) teilen

📉 Beispiel

Gegeben: Werte x=[2,4,4,4,5,5,7,9]x = [2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9]

  • Mittelwert: xˉ=5\bar{x} = 5
  • Differenzen: [−3,−1,−1,−1,0,0,2,4][-3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4]
  • Quadrieren: [9,1,1,1,0,0,4,16][9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16]
  • Summe: 3232
  • Varianz (Population): 328=4\frac{32}{8} = 4

📌 Zusammenhang zur Standardabweichung

Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz:

σ=σ2,s=s2\sigma = \sqrt{\sigma^2}, \quad s = \sqrt{s^2}

Faithful to Expectation Value

Das bedeutet:

🎯 Interpretation im Kontext der Varianz s[n−1]2s^2_{[n-1]} ist die Stichprobenvarianz mit dem Nenner n−1n-1.

σ[n]2\sigma^2_{[n]} ist die wahre (aber unbekannte) Populationsvarianz.

Die Aussage besagt:

Der Erwartungswert (Mittelwert über viele Stichproben) der Stichprobenvarianz s2s^2 ist gleich der wahren Varianz σ2\sigma^2 der Population.

🧠 Merksatz

„Varianz misst die Streuung der Daten um ihren Mittelwert – je größer die Abweichungen, desto größer die Varianz.“

Hinweis: Diese Erklärung basiert auf der Lehre von Prof. Dr. Hower zur diskreten Mathematik und den statistischen Grundlagen.

ErwartungswertEntropie